miércoles, 4 de abril de 2018

Polígonos regulares construibles con regla y compás

Nunca es tarde si la dicha es buena, dice el refrán. Ya iba siendo hora de dedicar una entrada a explicar qué polígonos regulares son construibles con las reglas clásicas de la regla y el compás.

En este blog hemos visto ya cómo construir los siguientes polígonos regulares, partiendo de un lado dado (o dicho de otro modo, partiendo de dos puntos dados):

Y los siguientes, inscritos en un círculo dado:
 
Pero, ¿qué pasa con los que no hemos mostrado? ¿Se pueden construir? Pues bien, la respuesta es que hay polígonos regulares que NO se pueden construir con las reglas clásicas. De ellos, el heptágono regular es el que tiene menor número de lados. Y el eneágono o el endecágono tampoco lo son. De hecho, existe un resultado que nos permite determinar si un polígono regular es o no es construible.




A día de hoy, los únicos primos de Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65537. Recordemos que un primo de Fermat es un número primo de la forma: $ { 2 }^{ { 2 }^{ n } }+1 $. 

Así, podemos mostrar por qué el heptágono regular y el eneágono regular no son construibles, pero los demás polígonos regulares hasta 10 lados sí lo son:

$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$
$$ 7\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 9=3^2\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 10=2\cdot \left(2^{2^1}+1 \right) $$

Este resultado lo debemos al trabajo de Gauss y de Pierre Wantzel, el primero de ellos demostró la suficiencia de la proposición, mientras que el segundo probó la necesidad de la misma. Gauss publicó su demostración en el libro Disquisitiones arithmeticae, escrito en 1798. Puedes verla aquí en el original en latín: es el artículo 365 que se encuentra en la página 662. O puedes consultar aquí una traducción al castellano: es el artículo 365 que se encuentra en la página 470.


Sin embargo, lo que Gauss proporcionó es la demostración de que el heptadecágono es construible, pero no propuso una construcción propiamente dicha. La que hemos presentado en este blog hace un tiempo fue dada Herbert W. Richmond en 1893. Y, de hecho, fue Johannes Erchinger quien propuso la primera construcción, en 1825. Y es que:
$$ 17=2^{2^2}+1 $$
Para terminar, añadir que en el caso de no ser construible un polígono regular, se puede intentar trazar alguna aproximación, y por ejemplo en este mismo blog ya hemos tratado aproximaciones bastante buenas para el heptágono, el eneágono o el endecágono regulares.

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