miércoles, 18 de abril de 2018

Polígono regular de 65537 lados

Como contábamos hace poco, no todos los polígonos regulares son construibles con regla y compás. Entre los que sí lo son tenemos el polígono regular de 65537 lados, número que, recordemos, es el primo de Fermat más grande conocido.

A diferencia de lo habitual, no vamos a traer aquí la construcción de este polígono dada su extensión y dificultad, y nos vamos a limitar a contextualizarlo.

Obviamente, un polígono con un número tan enorme de lados no somos capaces de distinguirlo de un círculo de manera visual. De hecho, la diferencia de su perímetro con la longitud de la circunferencia circunscrita se sitúa en torno a las milmillonésimas. Para este cálculo, podemos usar la siguiente fórmula para el perímetro de un polígono regular de n lados dado su radio:

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
Así, sin más que tomar como radio del polígono la unidad 1 (y será el mismo radio para la circunferencia circunscrita), la diferencia entre ambos perímetros es un número cuya primera cifra significativa es la milmillonésima.

La primera construcción explícita se la debemos a Johann Gustav Hermes, que la publica en 1894 en Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (traducido, algo así como 'Noticias de la Sociedad de Ciencias de Göttingen'). Podemos consultarla aquí, entre las páginas 170 y 186, en el capítulo "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" (traducido, 'sobre la división del círculo en 65537 partes iguales'). En el original alemán, claro.

Otro método, propuesto por Duane DeTemple, involucra el uso de a lo sumo 1332 círculos de Carlyle (cierto tipo de círculos asociados a una ecuación cuadrática particular). Su demostración la podemos encontrar en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", página 107, publicado en 1991 en la revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcciones que escapan notablamente de los objetivos de este humilde blog.


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