luns, 11 de febreiro de 2019

Os tres problemas clásicos

Por influencia da escola pitagórica, os matemáticos da Antiga Grecia concedían gran importancia á xeometría. Dentro desta, gozaban de especial consideración as construcións con regra e compás, que seguían unhas normas determinadas. Entre ditas construcións houbo algunhas que se fixeron particularmente famosas. Son os tres problemas clásicos da xeometría da regra e o compás: a cuadratura do círculo, a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.

A cuadratura do círculo consiste en construír un cadrado con igual área que un círculo dado. A duplicación do cubo achega a construción do lado dun cubo tal que o seu volume sexa o dobre doutro cubo de lado coñecido. A trisección do ángulo procura construír un ángulo que sexa xusto a terceira parte doutro ángulo dado. Todo iso con regra e compás, claro.

Dende aquel entón e até o século XIX a resolución destes tres problemas foi abordada en multitude de ocasións, arroxando sempre resultados insatisfactorios. E é que no fondo deste asunto reside a imposibilidade de lograr tales construcións. Durante todo ese tempo a gran maioría dos intentos buscaban atopar a construción que permitise resolver o problema, pero o que sucedía é simplemente que non existe tal cousa.


Ferdinand von Lindemann demostrou en 1882 que o número $\pi$ é trascendente, é dicir, non é solución de ningunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros. Disto pode deducirse que é imposible, dada una lonxitude unidade, construír con regra e compás unha lonxitude igual a $\pi$ ou a $\sqrt{\pi}$. 

Sendo $r$ a área do círculo e $l$ o lado do cadrado, sexan $\pi\cdot r^2$ a área do círculo e $l^2$ a área do cadrado. Para poder realizar a cuadratura do círculo sería necesario que $l^2=\pi\cdot r^2$, e por tanto que $l = r \cdot \sqrt{\pi}$. É dicir, o raio do círculo e o lado do cadrado serían proporcionais con razón $\sqrt{\pi}$. Pero este último valor é trascendente, e por tanto a cuadratrura do círculo non é resoluble con regra e compás.


Pierre Wantzel publicou en 1837 a imposibilidade da trisección do ángulo e da duplicación do cubo con regra e compás. Tamén publicou a construción dun polígono regular tal que o seu número de lados non sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (isto último xa fora probado con anterioridade por Gauss).

Sendo $a$ o lado do cubo dado, e $b$ o lado do cubo duplicado, para achar este queremos que o volumen sexa dobre, é dicir que $b^3=2a^3$, o cal implicaría que $b=a\cdot \sqrt[3]{2}$. Os lados de ambos os cubos serían proporcionais con razón $\sqrt[3]{2}$.

Temos que $\sqrt[3]{2}$ é un número alxébrico (é dicir, si é solución de algunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros), pero non pode obterse dos números enteiros por suma, resta, multiplicación, división e extracción de raíces cadradas, que son as únicas que poden facerse con regra e compás. Para un número construíble, o grao do seu polinomio mínimo debe ser unha potencia de 2. Porén, o polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$ sobre o corpo dos números racionais ten grao 3. En consecuencia, non é posible duplicar o cubo.


A imposibilidade da trisección do ángulo baséase nun argumento similar ao da duplicación do cubo, só que o número non construíble con regra e compás é un pouco máis complicado de obter. Vexamos que ocorre co ángulo de 60º (a súa trisección sería o ángulo de 30º), para o cual usamos un chisco de trigonometría:

$\cos 60^{\circ} = \cos 3A = \cos (2A+A) = \cos 2A \cdot \cos A - \sin 2A\cdot \sin A = $
$ =(\cos^2 A - \sin^2 A)\cdot \cos A - 2\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \sin A =$
$= \cos^3 A - \sin^2 A\cdot \cos A - 2\cdot \sin^2A \cdot \cos A =$
$= \cos^3A-\cos A+\cos^3 A - 2\cdot \cos A + 2\cdot \cos^3 A = 4\cdot \cos^3A-3\cdot \cos A$ 

É dicir, $x=\cos 20^{\circ}$ debe satisfacer que $\dfrac{1}{2}=4x^3-3x$, ou equivalentemente $8x^3-6x-1=0$. Así, debería ser raíz dun polinomio irredutible de grao 3 con coeficientes enteiros. Ao non ser o seu grao unha potencia de 2, o $\cos 20^{\circ}$ non é construíble con regra e compás, e en consecuencia non se pode trisecar o ángulo de 60º.
 


Por último, quero constatar que, aínda que estes tres problemas son imposibles coas normas clásicas da regra e o compás, se eliminamos ditas esixencias si son resolubles mediante unha ampla gama de procedemientos xeométricos e alxébricos. Por exemplo, basta con que se permita utilizar unha regra con dúas marcas e un compás para que si sexa posible duplicar o cubo. Outro exemplo sería o uso de papiroflexia, método co que poderiamos construír sen problemas a trisección do ángulo.



Ningún comentario :

Publicar un comentario