lunes, 11 de febrero de 2019

Los tres problemas clásicos

Por influencia de la escuela pitagórica, los matemáticos de la Antigua Grecia concedían gran importancia a la geometría. Dentro de esta, gozaban de especial consideración las construcciones con regla y compás, que seguían unas normas determinadas

Entre dichas construcciones hubo algunas que se hicieron particularmente famosas. Son los tres problemas clásicos de la geometría de la regla y el compás: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.

La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado con igual área que un círculo dado. La duplicación del cubo plantea la construcción del lado de un cubo cuyo volumen sea el doble de otro cubo de lado conocido. La trisección del ángulo procura construir un ángulo que sea justo la tercera parte de otro ángulo dado. Todo ello con regla y compás, claro.

Desde aquel entonces y hasta el siglo XIX la resolución de estos tres problemas fue abordada en multitud de ocasiones, arrojando siempre resultados insatisfactorios. Y es que en el trasfondo de este asunto reside la imposibilidad de lograr tales construcciones. Durante todo ese tiempo la gran mayoría de los intentos buscaban encontrar la construcción que permitiese resolver el problema, pero lo que sucedía es simplemente que no existe tal cosa.


Ferdinand von Lindemann demostró en 1882 que el número $\pi$ es trascendente, es decir, no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. De esto se puede deducir que es imposible, dada una longitud unidad, construir con regla y compás una longitud igual a $\pi$ o a $\sqrt{\pi}$. 

Siendo $r$ el área del círculo y $l$ el lado del cuadrado, sean $\pi\cdot r^2$ el área del círculo y $l^2$ el área del cuadrado. Para poder realizar la cuadratura del círculo sería necesario que $l^2=\pi\cdot r^2$, y por tanto que $l = r \cdot \sqrt{\pi}$. Es decir, el radio del círculo y el lado del cuadrado serían proporcionales con razón $\sqrt{\pi}$. Pero este último valor es trascendente, y por tanto la cuadratrura del círculo no es resoluble con regla y compás.


Pierre Wantzel publicó en 1837 la imposibilidad de la trisección del ángulo y de la duplicación del cubo con con regla y compás. También publicó la construcción de un polígono regular cuyo número de lados no sea producto de una potencia de dos y cualquier número de Fermat (esto último ya había sido probado con anterioridad por Gauss).

Siendo $a$ el lado del cubo dado, y $b$ el lado del cubo duplicado, para hallar este queremos que el volumen sea doble, es decir que $b^3=2a^3$, lo cual implicaría que $b=a\cdot \sqrt[3]{2}$. Los lados de ambos cubos serían proporcionales con razón $\sqrt[3]{2}$.

Tenemos que $\sqrt[3]{2}$ es un número algebraico (es decir, sí es solución de alguna ecuación algebraica con coeficientes enteros), pero no puede obtenerse de los números enteros por suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, que son las únicas que pueden hacerse con regla y compás. Para un número construible, el grado de su polinomio mínimo debe ser una potencia de 2. Sin embargo, el polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$ sobre el cuerpo de los números racionales tiene grado 3. En consecuencia, no es posible duplicar el cubo.


La imposibilidad de la trisección del ángulo se basa en un argumento similar al de la duplicación del cubo, solo que el número no construible con regla y compás es un poco más complicado de obtener. Veamos qué ocurre con el ángulo de 60º (su trisección sería el ángulo de 30º), para lo cual usamos un poco de trigonometría:

$\cos 60^{\circ} = \cos 3A = \cos (2A+A) = \cos 2A \cdot \cos A - \sin 2A\cdot \sin A = $
$ =(\cos^2 A - \sin^2 A)\cdot \cos A - 2\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \sin A =$
$= \cos^3 A - \sin^2 A\cdot \cos A - 2\cdot \sin^2A \cdot \cos A =$
$= \cos^3A-\cos A+\cos^3 A - 2\cdot \cos A + 2\cdot \cos^3 A = 4\cdot \cos^3A-3\cdot \cos A$ 

Es decir, $x=\cos 20^{\circ}$ debe satisfacer que $\dfrac{1}{2}=4x^3-3x$, o equivalentemente $8x^3-6x-1=0$. Así, debería ser raíz de un polinomio irreducible de grado 3 con coeficientes enteros. Al no ser su grado una potencia de 2, el $\cos 20^{\circ}$ no es construible con regla y compás, y en consecuencia no se puede trisecar el ángulo de 60º.
 


Por último, quiero constatar que, aunque estos tres problemas son imposibles con las normas clásicas de la regla y el compás, si eliminamos dichas exigencias sí son resolubles mediante una amplia gama de procedimientos geométricos y algebraicos. Por ejemplo, basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un compás para que sí sea posible duplicar el cubo. Otro ejemplo sería el uso de papiroflexia, método con el que podríamos construir sin problemas la trisección del ángulo.

Relacionado con todo esto: 


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