lunes, 11 de febrero de 2019

Los tres problemas clásicos

Por influencia de la escuela pitagórica, los matemáticos de la Antigua Grecia concedían gran importancia a la geometría. Dentro de esta, gozaban de especial consideración las construcciones con regla y compás, que seguían unas normas determinadas

Entre dichas construcciones hubo algunas que se hicieron particularmente famosas. Son los tres problemas clásicos de la geometría de la regla y el compás: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.

La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado con igual área que un círculo dado. La duplicación del cubo plantea la construcción del lado de un cubo cuyo volumen sea el doble de otro cubo de lado conocido. La trisección del ángulo procura construir un ángulo que sea justo la tercera parte de otro ángulo dado. Todo ello con regla y compás, claro.

Desde aquel entonces y hasta el siglo XIX la resolución de estos tres problemas fue abordada en multitud de ocasiones, arrojando siempre resultados insatisfactorios. Y es que en el trasfondo de este asunto reside la imposibilidad de lograr tales construcciones. Durante todo ese tiempo la gran mayoría de los intentos buscaban encontrar la construcción que permitiese resolver el problema, pero lo que sucedía es simplemente que no existe tal cosa.


Ferdinand von Lindemann demostró en 1882 que el número $\pi$ es trascendente, es decir, no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. De esto se puede deducir que es imposible, dada una longitud unidad, construir con regla y compás una longitud igual a $\pi$ o a $\sqrt{\pi}$. 

Siendo $r$ el área del círculo y $l$ el lado del cuadrado, sean $\pi\cdot r^2$ el área del círculo y $l^2$ el área del cuadrado. Para poder realizar la cuadratura del círculo sería necesario que $l^2=\pi\cdot r^2$, y por tanto que $l = r \cdot \sqrt{\pi}$. Es decir, el radio del círculo y el lado del cuadrado serían proporcionales con razón $\sqrt{\pi}$. Pero este último valor es trascendente, y por tanto la cuadratrura del círculo no es resoluble con regla y compás.


Pierre Wantzel publicó en 1837 la imposibilidad de la trisección del ángulo y de la duplicación del cubo con con regla y compás. También publicó la construcción de un polígono regular cuyo número de lados no sea producto de una potencia de dos y cualquier número de Fermat (esto último ya había sido probado con anterioridad por Gauss).

Siendo $a$ el lado del cubo dado, y $b$ el lado del cubo duplicado, para hallar este queremos que el volumen sea doble, es decir que $b^3=2a^3$, lo cual implicaría que $b=a\cdot \sqrt[3]{2}$. Los lados de ambos cubos serían proporcionales con razón $\sqrt[3]{2}$.

Tenemos que $\sqrt[3]{2}$ es un número algebraico (es decir, sí es solución de alguna ecuación algebraica con coeficientes enteros), pero no puede obtenerse de los números enteros por suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, que son las únicas que pueden hacerse con regla y compás. Para un número construible, el grado de su polinomio mínimo debe ser una potencia de 2. Sin embargo, el polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$ sobre el cuerpo de los números racionales tiene grado 3. En consecuencia, no es posible duplicar el cubo.


La imposibilidad de la trisección del ángulo se basa en un argumento similar al de la duplicación del cubo, solo que el número no construible con regla y compás es un poco más complicado de obtener. Veamos qué ocurre con el ángulo de 60º (su trisección sería el ángulo de 30º), para lo cual usamos un poco de trigonometría:

$\cos 60^{\circ} = \cos 3A = \cos (2A+A) = \cos 2A \cdot \cos A - \sin 2A\cdot \sin A = $
$ =(\cos^2 A - \sin^2 A)\cdot \cos A - 2\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \sin A =$
$= \cos^3 A - \sin^2 A\cdot \cos A - 2\cdot \sin^2A \cdot \cos A =$
$= \cos^3A-\cos A+\cos^3 A - 2\cdot \cos A + 2\cdot \cos^3 A = 4\cdot \cos^3A-3\cdot \cos A$ 

Es decir, $x=\cos 20^{\circ}$ debe satisfacer que $\dfrac{1}{2}=4x^3-3x$, o equivalentemente $8x^3-6x-1=0$. Así, debería ser raíz de un polinomio irreducible de grado 3 con coeficientes enteros. Al no ser su grado una potencia de 2, el $\cos 20^{\circ}$ no es construible con regla y compás, y en consecuencia no se puede trisecar el ángulo de 60º.
 


Por último, quiero constatar que, aunque estos tres problemas son imposibles con las normas clásicas de la regla y el compás, si eliminamos dichas exigencias sí son resolubles mediante una amplia gama de procedimientos geométricos y algebraicos. Por ejemplo, basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un compás para que sí sea posible duplicar el cubo. Otro ejemplo sería el uso de papiroflexia, método con el que podríamos construir sin problemas la trisección del ángulo.

Relacionado con todo esto: 


1 comentario :

  1. Thank for Baì viết hữu ích. Mình cũng muốn giới thiệu về một Công ty dịch thuật uy tín - Công ty CP dịch thuật miền trung - MIDtrans địa chỉ 02 Hoàng Diệu, TP Đồng Hới, tỉnh Quảng Bình có Giấy phép kinh doanh số 3101023866 cấp ngày 9/12/2016 là đơn vị chuyên cung cấp dịch vụ dịch thuật, phiên dịch dành các cá nhân. Hệ thống thương hiệu và các Công ty dịch thuật con trực thuộc: công ty dịch thuật sài gòn 247 địa chỉ 47 Điện Biên Phủ, Phường Đakao, Quận 1 TP HCM, dịch thuật bình dương : địa chỉ 123 , Lê trọng tấn, dĩ an, bình dương là nhà cung ứng dịch vụ dịch thuật uy tín hàng đầu tại bình dương viet translate : dịch vụ dịch thuật cho người nước ngoài có nhu cầu, giao diện tiếng Anh dễ sử dụng; dịch thuật công chứng quận 8 (tám) : nhà cung ứng dịch vụ dịch vụ dịch thuật phiên dịch hàng đầu tại Quận 8 (tám), TP HCM; công ty dịch thuật Đà Nẵng : Địa chỉ 54 Đinh Tiên Hoàng, Quận Hải Châu, TP Đà Nẵng chuyên cung cấp dịch vụ dịch thuật công chứng, dịch thuật chuyên ngành tại Đà Nẵng. Chúng tôi chuyên cung cấp các dịch vụ biên dịch và phiên dịch, dịch thuật công chứng chất lượng cao hơn 50 ngôn ngữ khác nhau như tiếng Anh, Nhật, Hàn, Trung, Pháp, Đức, Nga, Tây Ban Nha, Bồ Đào Nha, Ý, Ba Lan, Phần Lan, Thái Lan, Hà Lan, Rumani, Lào, Campuchia, Philippin, Indonesia, La Tinh, Thụy Điển, Malaysia, Thổ Nhĩ Kỳ..vv... Dịch thuật MIDtrans tự hào với đội ngũ lãnh đạo với niềm đam mê, khát khao vươn tầm cao trong lĩnh vực dịch thuật, đội ngũ nhân sự cống hiến và luôn sẵn sàng cháy hết mình. Chúng tôi phục vụ từ sự tậm tâm và cố gắng từ trái tim những người dịch giả.Tự hào là công ty cung cấp dịch thuật chuyên ngành hàng đầu với các đối tác lớn tại Việt nam trong các chuyên ngành hẹp như: y dược (bao gồm bệnh lý), xây dựng (kiến trúc), hóa chất, thủy nhiệt điện, ngân hàng, tài chính, kế toán. Các dự án đã triển khai của Công ty dịch thuật chuyên nghiệp MIDtrans đều được Khách hàng đánh giá cao và đạt được sự tín nhiệm về chất lượng biên phiên dịch đặc biệt đối với dịch hồ sơ thầu , dịch thuật tài liệu tài chính ngân hàng, dịch thuật tài liệu y khoa đa ngữ chuyên sâu. Đó là kết quả của một hệ thống quản lý chất lượng dịch thuật chuyên nghiệp, những tâm huyết và kinh nghiệm biên phiên dịch nhiều năm của đội ngũ dịch giả của chúng tôi. Hotline: 0947688883. email: info@dichthuatmientrung.com.vn . Các bạn ghé thăm site ủng hộ nhé. Cám ơn nhiều

    ResponderEliminar