venres, 1 de febreiro de 2019

Xeometrografía

Este blog tivo un par de anos de actividade frecuente, e logo un tempo no cal só colguei entradas novas de forma ocasional. Recoñezo que na actualidade o seu estado roza o abandono, aínda que por outra parte foron moitas as horas de entretemento que me proporcionou.

Pero a Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas está dedicada á regra e o compás, así que un blog coma este que os ten por tema central tiña que participar si ou si. Estou falto de ideas para o blog, o que me leva a -con algo de rubor- traer para a ocasión esta revisión dunha entrada algo antiga. Así que imos aó:

Esta entrada participa na Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas, que nesta ocasión organiza Gaussianos.

A xeometrografía estuda a complexidade das construcións con regra e compás. Pretende establecer criterios que permitan comparar a sinxeleza de diferentes construcións xeométricas que cheguen a un mesmo resultado final. Unha medida cuantitativa da sinxeleza dunha construción xeométrica foi creada en 1907 por Emile Lemoine. Considéranse as operacións seguintes:

$S_1$: colocar a regra sobre un punto dado.
$S_2$: debuxar unha liña recta.
$C_1$: colocar o compás nun punto dado.
$C_2$: colocar o compás nun punto indeterminado de una liña.
$C_3$: debuxar unha circunferencia.

Se cada unha destas operacións se repite, respectivamente, $m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ veces nunha construción, entón ao número total de operacións $m_1+m_2+n_1+n_2+n_3$ chámaselle simplicidade da construción. Canto menor sexa este valor, máis eficiente será a construción.

A simplicidade dunha construción podería mellorarse, por exemplo, logrando describir de xeito sucesivo círculos que teñan un raio común ou un centro común, pois dese xeito non habería que recolocar o compás e non aumentarían $C_1$ nin $C_2$.

Tamén se poden definir outros coeficientes como o de exactitude, que é $m_1+n_1+n_2$, e denota o número de operacións "preparatorias" sobre os cales depende a exactitude da construción.

Para escribir esta entrada, baseime fundamentalmente no artigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", publicado en 1991 por Duane DeTemple na revista The American Mathematical Monthly. Neste mesmo artigo, DeTemple ofrece construcións para o pentágono regular e para os polígonos regulares de 17, 257 e 65537 lados (os tres números son primos de Fermat). Por exemplo, a do pentágono tería unha simplicidade de 15.

No caso do heptadecágono, a súa construción tería simplicidade 45, mentres que a construción de Herbert W. Hamilton da que xa falamos no seu día tería simplicidade polo menos 53.

E para construír o polígono regular de 257 lados, xa estariamos a falar de simplicidade 566. Este número deixa ás claras a complexidade da construción práctica deste polígono, e por que hai puoco falamos del pero non mostramos dita construción. E é que un polígono de 257 lados é, a simple vista, indistinguible dun círculo.

E o propio DeTempe afirma que as construcións que describe teñen menor simplicidade que as súas "competidoras" e que son quizais case óptimas. "Quizais", porque segundo parece determinar se unha construción dada ten a simplicidade máis baixa posible é un problema aínda aberto.

Relacionado con esto:

Ningún comentario :

Publicar un comentario