viernes, 1 de febrero de 2019

Geometrografía

Este blog ha tenido un par de años de actividad frecuente, y luego un tiempo en el que solo he colgado entradas nuevas de forma ocasional. Reconozco que en la actualidad su estado roza el abandono, aunque por otra parte han sido muchas las horas de entretenimiento que me ha proporcionado.

Pero la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas está dedicada a la regla y el compás, así que un blog como este que los tiene por tema central tenía que participar sí o sí. Estoy falto de ideas para el blog, lo que me lleva a -con algo de sonrojo- traer para la ocasión esta revisión de una entrada algo antigua. Así que vamos allá:

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

La geometrografía estudia la complejidad de las construcciones con regla y compás. Pretende establecer criterios que permitan comparar la sencillez de diferentes construcciones geométricas que lleguen a un mismo resultado final.

Una medida cuantitativa de la sencillez de una construcción geométrica fue creada en 1907 por Emile Lemoine. Se consideran las operaciones siguientes:

$S_1$: colocar la regla sobre un punto dado.
$S_2$: dibujar una línea recta.
$C_1$: colocar el compás en un punto dado.
$C_2$: colocar el compás en un punto indeterminado de una línea.
$C_3$: dibujar una circunferencia.

Si cada una de estas operaciones se repite, respectivamente, $m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ veces en una construcción, entonces al número total de operaciones $m_1+m_2+n_1+n_2+n_3$ se le llama simplicidad de la construcción. Cuanto menor sea este valor, más eficiente será la construcción.

La simplicidad de una construcción podría mejorarse, por ejemplo, logrando describir de forma sucesiva círculos que tengan un radio común o un centro común, pues de esa forma no habría que recolocar el compás y no aumentarían $C_1$ ni $C_2$.

También se pueden definir otros coeficientes como el de exactitud, que sería $m_1+n_1+n_2$, y denota el número de operaciones "preparatorias" sobre los cuales depende la exactitud de la construcción.

Para escribir esta entrada, nos hemos basado fundamentalmente en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", publicado en 1991 por Duane DeTemple en la revista The American Mathematical Monthly.

En ese mismo artículo, DeTemple ofrece construcciones para el pentágono regular y para los polígonos regulares de 17, 257 y 65537 lados (los tres números son primos de Fermat). Por ejemplo, la del pentágono tendría una simplicidad de 15.

En el caso del heptadecágono, su construcción tendría simplicidad 45, mientras que la construcción de Herbert W. Hamilton de la que ya hablamos en su día tendría simplicidad al menos 53.

Y para construir el polígono regular de 257 lados, ya hablaríamos de simplicidad 566. Este número deja a las claras la complejidad de la construcción práctica de este polígono, y por qué hace poco hablamos de él pero no mostramos dicha construcción.

Y el propio DeTempe afirma que las construcciones que describe tienen menor simplicidad que sus "competidoras" y que son quizás casi óptimas. "Quizás", porque según parece determinar si una construcción dada tiene la simplicidad más baja posible es un problema áun abierto.

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