viernes, 3 de agosto de 2018

Teorema de Mohr-Mascheroni

El italiano Lorenzo Mascheroni publicó la demostración de este teorema en 1797, aunque ya en el siglo XX apareció en una tienda un libro del danés Georg Mohr, publicado con anterioridad, en 1672, que también resolvía este problema.

El teorema dice lo siguiente:


El teorema no se puede demostrar dando una construcción alternativa solo con compás para todas las construcciones posibles con regla y compás, pues el número de estas últimas no es finito. Lo que se puede hacer es demostrar que las siguientes cuatro construcciones fundamentales sí son posibles solo con compás:

  1. Dibujar una recta que pase por dos puntos dados.
  2. Dibujar una circunferencia con centro dado que pasa por un punto dado.
  3. Encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias.
  4. Encontrar los puntos de intersección de una recta y una circunferencia.
  5. Encontrar los puntos de intersección de dos rectas.

Es obvio que la construcción 1 no se puede realizar sin una regla, así que el resultado de Mascheroni en realidad no cubre esa construcción fundamental. Para esquivar esta limitación puede pensarse en una recta como dada conociendo dos de sus puntos. Las construcciones 2 y 3 son claramente posibles solo con compás, y la resolución solo con compás de las construcciones 3 y 4 ya ha aparecido en este blog.

Inspirado por el sorprendente resultado de Mascheroni, el francés Jean-Victor Poncelet se planteó si podría ser válido un resultado parecido sobre el uso de la regla, y en 1822 enunció una conjetura que sería publicada en 1833 por el suizo Jakob Steiner, pasando a denominarse desde entonces teorema de Poncelet-Steiner:


La conclusión que podemos extraer de este teorema es que todas las construcciones se pueden realizar solo con regla... usando una única vez el compás. La condición extra es indispensable, pues en aquellas situaciones en las que una circuferencia está dada pero no conocemos su centro, este no se puede hallar solo con la regla.

Relacionado con esto:
  • Teorema de Napoleón. Existe un teorema con triángulos que a veces se atribuye al famoso emperador Napoleón, pero su verdadero autor probablemente fue Mascheroni. Este, conocido de Napoleón y sabedor de la afición del emperador por las matemáticas, le dedicó el libro 'Geometría del Compasso' de 1797, en el que resolvió el teorema del que hablamos en esta entrada.
  • What is Mathematics?, de Richard Courant y Herbert Robbins, del cual hemos sacado la idea para esta entrada.
  • Cuadrado en un círculo solo con regla es la única construcción de ese tipo que hemos tratado en este blog. Usa un círculo dado, con centro conocido, como datos de partida.

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