miércoles, 18 de julio de 2018

Inversión de un punto respecto de una circunferencia

Una nueva construcción llega a este blog mientras leo What is Mathematics, de Richard Courant y Herbert Robbins. Se trata de la inversión de un punto respecto de una circunferencia, una transformación biyectiva y continua.

Esta inversión intercambia el interior y el exterior de la circunferencia, y sus únicos puntos invariantes son los de la circunferencia. Además, no define ninguna imagen para el centro O de la circunferencia; si el punto P se acerca a O, entonces P' se aleja más y más en el plano. Por esto último se suele decir que el punto O corresponde, bajo la inversión, con el punto del infinito.

En la construcción con regla y compás encontramos dos casos diferentes, que están explicados dentro de la construcción GeoGebra. Uno es directo, en el otro encontramos un paso intermedio con un punto auxiliar.


https://www.geogebra.org/m/jpmxrkmp


Entre sus propiedades más importantes encontramos las siguientes:
  • Una recta que pasa por el centro O es globalmente invariante.
  • Transforma rectas en rectas.
  • Transforma circunferencias en circunferencias.
  • Conserva la magnitud de los ángulos, aunque cambia su sentido.
Y cabe notar, también, que esta construcción es de las que se pueden llevar a cabo usando únicamente el compás; la regla es innecesaria.

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