mércores, 18 de abril de 2018

Polígono regular de 65537 lados

Tal e como contabamos hai poco, non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. Entre os que si o son temos o polígono regular de 65537 lados, número que, recordemos, é o primo de Fermat máis grande coñecido.

A diferenza do habitual, non imos traer aquí a construción deste polígono dada a súa extensión e dificultade, e ímonos limitar a contextualizalo.

Obviamente, un polígono cun número tan enorme de lados non somos capaces de distinguilo dun círculo de xeito visual. De feito, a diferenza do seu perímetro coa lonxitude da circunferencia circunscrita sitúase en torno ás milmillonésimas. Para este cálculo, podemos usar a seguinte fórmula para o perímetro dun polígono regular de n lados dado o seu raio:

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
Así, sen máis que tomar como raio do polígono a unidade 1 (e será o mesmo raio para a circunferencia circunscrita), a diferenza entre ambos os perímetros é un número tal que a primeira cifra significativa é a milmillonésima.

A primeira construción explícita debémoslla a Johann Gustav Hermes, que a publica no ano 1894 en Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (traducido, algo así coma 'Noticias da Sociedade de Ciencias de Göttingen'). Podemos consultala aquí, entre as páxinas 170 e 186, no capítulo "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" (traducido, 'sobre a división do círculo en 65537 partes iguais'). No orixinal alemán, claro.

Outro método, proposto por Duane DeTemple, involucra o uso de como moito 1332 círculos de Carlyle (certo tipo de círculos asociados a unha ecuación cuadrática particular). A súa demostración podemos atopala no artigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions" (traducido, 'círculos de Carlyle e simplicidade de Lemoine en construcións de polígonos'), páxina 107, publicado no ano 1991 na revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcións que escapan notablamente dos obxectivos deste humilde blog.


Ningún comentario :

Publicar un comentario