lunes, 11 de noviembre de 2013

La regla y el compás en la geometría clásica

Antes de continuar realizando construcciones, vamos a dejar constancia de cuáles son las herramientas de las que disponemos.
En la geometría clásica se entiende por construcción con regla y compás el trazado de puntos, segmentos de recta y circunferencias usando exclusivamente una regla y un compás idealizados.
  • A la regla se le supone una longitud infinita, y carece de marcas que permitan realizar mediciones. Además podemos pensar en ella como una regla de un solo borde, pues no permite dibujar, por ejemplo, rectas paralelas. Así, sirve para trazar una recta entre dos puntos prefijados o bien para prolongar tanto como se desee una recta ya existente.
  • El compás permite trazar circunferencias de cualquier radio, pero solo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o una parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se supone que se cierra cuando se separa del papel, de manera que no tiene memoria sino que "olvida" cuál era la medida utilizada y no permite repetirla.
Teniendo en cuenta estas consideraciones, resulta que para realizar construcciones con regla y compás nos limitaremos a aplicar las cinco construcciones básicas, pudiendo usar en cada una de estas los puntos, rectas y/o circunferencias creadas en pasos anteriores. Esas construcciones posibles son:

  1. Crear un segmento de recta que une dos puntos ya existentes, o alargar uno ya construido.
  2. Crear un circunferencia con centro en un punto dado y que pasa por otro punto dado.
  3. Crear un punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.
  4. Crear un punto (o dos) en los que se intersecan una recta y una circunferencia.
  5. Crear un punto (o dos) en los que se intersecan dos circunferencias.

En este blog siempre presentamos las construcciones mediante applets de Geogebra (motivo por el cual debes tener actualizada la versión de Java). En dicho programa las cinco construcciones posibles que acabamos de citar se resumen en que solo podemos utilizar las herramientas Segmento entre Dos Puntos, Recta que pasa por Dos Puntos y Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos. Bueno, en realidad y gracias a lo explicado en esta entrada también nos permitiremos, en alguna que otra ocasión, utilizar la herramienta Circunferencia dados su Centro y su Radio, pero debemos tener presente que la construcción clásica incluye, cada vez que la usamos, todos los pasos que explicamos en dicha entrada. Simplemente, los daremos por supuesto en aras de una mejor comprensión de las construcciones.

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