miércoles, 25 de abril de 2018

Geometrografía

La geometrografía estudia la complejidad de las construcciones con regla y compás. Pretende establecer criterios que permitan comparar la sencillez de diferentes construcciones geométricas que lleguen a un mismo resultado final.

Una medida cuantitativa de la sencillez de una construcción geométrica fue creada en 1907 por Emile Lemoine. Se consideran las operaciones siguientes:

$S_1$: colocar la regla sobre un punto dado.
$S_2$: dibujar una línea recta.
$C_1$: colocar el compás en un punto dado.
$C_2$: colocar el compás en un punto indeterminado de una línea.
$C_3$: dibujar una circunferencia.

Si cada una de estas operaciones se repite, respectivamente, $m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ veces en una construcción, entonces al número total de operaciones $m_1+m_2+n_1+n_2+n_3$ se le llama simplicidad de la construcción. Cuanto menor sea este valor, más eficiente será la construcción.

La simplicidad de una construcción podría mejorarse, por ejemplo, logrando describir de forma sucesiva círculos que tengan un radio común o un centro común, pues de esa forma no habría que recolocar el compás y no aumentarían $C_1$ ni $C_2$.

También se pueden definir otros coeficientes como el de exactitud, que sería $m_1+n_1+n_2$, y denota el número de operaciones "preparatorias" sobre los cuales depende la exactitud de la construcción.

Para escribir esta entrada, nos hemos basado fundamentalmente en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", publicado en 1991 por Duane DeTemple en la revista The American Mathematical Monthly.

En ese mismo artículo, DeTemple ofrece construcciones para el pentágono regular y para los polígonos regulares de 17, 257 y 65537 lados (los tres números son primos de Fermat). Por ejemplo, la del pentágono tendría una simplicidad de 15.

En el caso del heptadecágono, su construcción tendría simplicidad 45, mientras que la construcción de Herbert W. Hamilton de la que ya hablamos en su día tendría simplicidad al menos 53.

Y para construir el polígono regular de 257 lados, ya hablaríamos de simplicidad 566. Este número deja a las claras la complejidad de la construcción práctica de este polígono, y por qué hace poco hablamos de él pero no mostramos dicha construcción.

Y el propio DeTempe afirma que las construcciones que describe tienen menor simplicidad que sus "competidoras" y que son quizás casi óptimas. "Quizás", porque según parece determinar si una construcción dada tiene la simplicidad más baja posible es un problema áun abierto.

miércoles, 18 de abril de 2018

Polígono regular de 65537 lados

Como contábamos hace poco, no todos los polígonos regulares son construibles con regla y compás. Entre los que sí lo son tenemos el polígono regular de 65537 lados, número que, recordemos, es el primo de Fermat más grande conocido.

A diferencia de lo habitual, no vamos a traer aquí la construcción de este polígono dada su extensión y dificultad, y nos vamos a limitar a contextualizarlo.

Obviamente, un polígono con un número tan enorme de lados no somos capaces de distinguirlo de un círculo de manera visual. De hecho, la diferencia de su perímetro con la longitud de la circunferencia circunscrita se sitúa en torno a las milmillonésimas. Para este cálculo, podemos usar la siguiente fórmula para el perímetro de un polígono regular de n lados dado su radio:

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
Así, sin más que tomar como radio del polígono la unidad 1 (y será el mismo radio para la circunferencia circunscrita), la diferencia entre ambos perímetros es un número cuya primera cifra significativa es la milmillonésima.

La primera construcción explícita se la debemos a Johann Gustav Hermes, que la publica en 1894 en Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (traducido, algo así como 'Noticias de la Sociedad de Ciencias de Göttingen'). Podemos consultarla aquí, entre las páginas 170 y 186, en el capítulo "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" (traducido, 'sobre la división del círculo en 65537 partes iguales'). En el original alemán, claro.

Otro método, propuesto por Duane DeTemple, involucra el uso de a lo sumo 1332 círculos de Carlyle (cierto tipo de círculos asociados a una ecuación cuadrática particular). Su demostración la podemos encontrar en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", página 107, publicado en 1991 en la revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcciones que escapan notablamente de los objetivos de este humilde blog.


miércoles, 11 de abril de 2018

Polígono de 257 lados

Como contábamos hace poco, no todos los polígonos regulares son construibles con regla y compás. Entre los que sí lo son tenemos el polígono regular de 257 lados, número que, recordemos, es el cuarto primo de Fermat conocido.

A diferencia de lo habitual, no vamos a traer aquí la construcción de este polígono dada su extensión y dificultad, y nos vamos a limitar a contextualizarlo.  

Obviamente, un polígono con un número tan grande de lados no somos capaces de distinguirlo de un círculo de manera visual. De hecho, la diferencia de su perímetro con la longitud de la circunferencia circunscrita se sitúa en torno a las diezmilésimas. Para este cálculo, podemos usar la siguiente fórmula para el perímetro de un polígono regular de n lados dado su radio: 

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
Así, sin más que tomar como radio del polígono la unidad 1 (y será el mismo radio para la circunferencia circunscrita), la diferencia entre ambos perímetros es un número cuya primera cifra significativa es la diezmilésima.

La primera construcción explícita se la debemos a Magnus Georg Paucker, que la publica en 1822 en Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (traducido, algo así como 'Sesiones anuales de la Sociedad de Literatura y Arte de Kurland'). Podemos consultarla aquí, página 188, en el apartado "Dasregelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise" (traducido, 'sobre la división del círculo en 65537 partes iguales'). En el original alemán, claro.
 
Poco después, en 1832, otra construcción era publicada por Friedrich Julius Richelot en Journal für die reine und angewandte Mathematik (traducido, algo así como 'Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas'). Podemos consultarla aquí, a partir de la página 146, en el capítulo "De resolutione algebraica aequationes $x^{257}=1$" (traducido, 'sobre la resolución de la ecuación algebraica $x^{257}=1$'). El original está, en este caso, en latín.

Otro método, propuesto por Duane DeTemple, involucra el uso de 150 círculos. Su demostración la podemos encontrar en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", páginas 104 a 107, publicado en 1991 en la revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcciones que escapan notablamente de los objetivos de este humilde blog.

Relacionado con esto:

miércoles, 4 de abril de 2018

Polígonos regulares construibles con regla y compás

Nunca es tarde si la dicha es buena, dice el refrán. Ya iba siendo hora de dedicar una entrada a explicar qué polígonos regulares son construibles con las reglas clásicas de la regla y el compás.

En este blog hemos visto ya cómo construir los siguientes polígonos regulares, partiendo de un lado dado (o dicho de otro modo, partiendo de dos puntos dados):

Y los siguientes, inscritos en un círculo dado:
 
Pero, ¿qué pasa con los que no hemos mostrado? ¿Se pueden construir? Pues bien, la respuesta es que hay polígonos regulares que NO se pueden construir con las reglas clásicas. De ellos, el heptágono regular es el que tiene menor número de lados. Y el eneágono o el endecágono tampoco lo son. De hecho, existe un resultado que nos permite determinar si un polígono regular es o no es construible.




A día de hoy, los únicos primos de Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65537. Recordemos que un primo de Fermat es un número primo de la forma: $ { 2 }^{ { 2 }^{ n } }+1 $. 

Así, podemos mostrar por qué el heptágono regular y el eneágono regular no son construibles, pero los demás polígonos regulares hasta 10 lados sí lo son:

$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$
$$ 7\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 9=3^2\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 10=2\cdot \left(2^{2^1}+1 \right) $$

Este resultado lo debemos al trabajo de Gauss y de Pierre Wantzel, el primero de ellos demostró la suficiencia de la proposición, mientras que el segundo probó la necesidad de la misma. Gauss publicó su demostración en el libro Disquisitiones arithmeticae, escrito en 1798. Puedes verla aquí en el original en latín: es el artículo 365 que se encuentra en la página 662. O puedes consultar aquí una traducción al castellano: es el artículo 365 que se encuentra en la página 470.


Sin embargo, lo que Gauss proporcionó es la demostración de que el heptadecágono es construible, pero no propuso una construcción propiamente dicha. La que hemos presentado en este blog hace un tiempo fue dada Herbert W. Richmond en 1893. Y, de hecho, fue Johannes Erchinger quien propuso la primera construcción, en 1825. Y es que:
$$ 17=2^{2^2}+1 $$
Para terminar, añadir que en el caso de no ser construible un polígono regular, se puede intentar trazar alguna aproximación, y por ejemplo en este mismo blog ya hemos tratado aproximaciones bastante buenas para el heptágono, el eneágono o el endecágono regulares.

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martes, 2 de enero de 2018

Simetría de doce ejes

Con la entrada de hoy terminamos nuestra serie de simetrías extraídas del libro Drawing Circle Images. Han sido once construcciones que, si bien son bastante sencillas, resultan especialmente bellas debido a las simetrías que presentan. Coloreadas con un poco de arte y sensibilidad pueden ser figuras muy bonitas.







En esta última construcción del libro dividimos la circunferencia inicial en doce partes iguales y, a partir de esos puntos y como ya es habitual, dibujamos una cuantas circunferencias que nos llevan a nuestro bello resultado.


https://www.geogebra.org/m/VXdR6uXH


 
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