lunes, 11 de febrero de 2019

Los tres problemas clásicos

Por influencia de la escuela pitagórica, los matemáticos de la Antigua Grecia concedían gran importancia a la geometría. Dentro de esta, gozaban de especial consideración las construcciones con regla y compás, que seguían unas normas determinadas

Entre dichas construcciones hubo algunas que se hicieron particularmente famosas. Son los tres problemas clásicos de la geometría de la regla y el compás: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.

La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado con igual área que un círculo dado. La duplicación del cubo plantea la construcción del lado de un cubo cuyo volumen sea el doble de otro cubo de lado conocido. La trisección del ángulo procura construir un ángulo que sea justo la tercera parte de otro ángulo dado. Todo ello con regla y compás, claro.

Desde aquel entonces y hasta el siglo XIX la resolución de estos tres problemas fue abordada en multitud de ocasiones, arrojando siempre resultados insatisfactorios. Y es que en el trasfondo de este asunto reside la imposibilidad de lograr tales construcciones. Durante todo ese tiempo la gran mayoría de los intentos buscaban encontrar la construcción que permitiese resolver el problema, pero lo que sucedía es simplemente que no existe tal cosa.


Ferdinand von Lindemann demostró en 1882 que el número $\pi$ es trascendente, es decir, no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. De esto se puede deducir que es imposible, dada una longitud unidad, construir con regla y compás una longitud igual a $\pi$ o a $\sqrt{\pi}$. 

Siendo $r$ el área del círculo y $l$ el lado del cuadrado, sean $\pi\cdot r^2$ el área del círculo y $l^2$ el área del cuadrado. Para poder realizar la cuadratura del círculo sería necesario que $l^2=\pi\cdot r^2$, y por tanto que $l = r \cdot \sqrt{\pi}$. Es decir, el radio del círculo y el lado del cuadrado serían proporcionales con razón $\sqrt{\pi}$. Pero este último valor es trascendente, y por tanto la cuadratrura del círculo no es resoluble con regla y compás.


Pierre Wantzel publicó en 1837 la imposibilidad de la trisección del ángulo y de la duplicación del cubo con con regla y compás. También publicó la construcción de un polígono regular cuyo número de lados no sea producto de una potencia de dos y cualquier número de Fermat (esto último ya había sido probado con anterioridad por Gauss).

Siendo $a$ el lado del cubo dado, y $b$ el lado del cubo duplicado, para hallar este queremos que el volumen sea doble, es decir que $b^3=2a^3$, lo cual implicaría que $b=a\cdot \sqrt[3]{2}$. Los lados de ambos cubos serían proporcionales con razón $\sqrt[3]{2}$.

Tenemos que $\sqrt[3]{2}$ es un número algebraico (es decir, sí es solución de alguna ecuación algebraica con coeficientes enteros), pero no puede obtenerse de los números enteros por suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, que son las únicas que pueden hacerse con regla y compás. Para un número construible, el grado de su polinomio mínimo debe ser una potencia de 2. Sin embargo, el polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$ sobre el cuerpo de los números racionales tiene grado 3. En consecuencia, no es posible duplicar el cubo.


La imposibilidad de la trisección del ángulo se basa en un argumento similar al de la duplicación del cubo, solo que el número no construible con regla y compás es un poco más complicado de obtener. Veamos qué ocurre con el ángulo de 60º (su trisección sería el ángulo de 30º), para lo cual usamos un poco de trigonometría:

$\cos 60^{\circ} = \cos 3A = \cos (2A+A) = \cos 2A \cdot \cos A - \sin 2A\cdot \sin A = $
$ =(\cos^2 A - \sin^2 A)\cdot \cos A - 2\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \sin A =$
$= \cos^3 A - \sin^2 A\cdot \cos A - 2\cdot \sin^2A \cdot \cos A =$
$= \cos^3A-\cos A+\cos^3 A - 2\cdot \cos A + 2\cdot \cos^3 A = 4\cdot \cos^3A-3\cdot \cos A$ 

Es decir, $x=\cos 20^{\circ}$ debe satisfacer que $\dfrac{1}{2}=4x^3-3x$, o equivalentemente $8x^3-6x-1=0$. Así, debería ser raíz de un polinomio irreducible de grado 3 con coeficientes enteros. Al no ser su grado una potencia de 2, el $\cos 20^{\circ}$ no es construible con regla y compás, y en consecuencia no se puede trisecar el ángulo de 60º.
 


Por último, quiero constatar que, aunque estos tres problemas son imposibles con las normas clásicas de la regla y el compás, si eliminamos dichas exigencias sí son resolubles mediante una amplia gama de procedimientos geométricos y algebraicos. Por ejemplo, basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un compás para que sí sea posible duplicar el cubo. Otro ejemplo sería el uso de papiroflexia, método con el que podríamos construir sin problemas la trisección del ángulo.

Relacionado con todo esto: 


viernes, 1 de febrero de 2019

Geometrografía

Este blog ha tenido un par de años de actividad frecuente, y luego un tiempo en el que solo he colgado entradas nuevas de forma ocasional. Reconozco que en la actualidad su estado roza el abandono, aunque por otra parte han sido muchas las horas de entretenimiento que me ha proporcionado.

Pero la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas está dedicada a la regla y el compás, así que un blog como este que los tiene por tema central tenía que participar sí o sí. Estoy falto de ideas para el blog, lo que me lleva a -con algo de sonrojo- traer para la ocasión esta revisión de una entrada algo antigua. Así que vamos allá:

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

La geometrografía estudia la complejidad de las construcciones con regla y compás. Pretende establecer criterios que permitan comparar la sencillez de diferentes construcciones geométricas que lleguen a un mismo resultado final.

Una medida cuantitativa de la sencillez de una construcción geométrica fue creada en 1907 por Emile Lemoine. Se consideran las operaciones siguientes:

$S_1$: colocar la regla sobre un punto dado.
$S_2$: dibujar una línea recta.
$C_1$: colocar el compás en un punto dado.
$C_2$: colocar el compás en un punto indeterminado de una línea.
$C_3$: dibujar una circunferencia.

Si cada una de estas operaciones se repite, respectivamente, $m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ veces en una construcción, entonces al número total de operaciones $m_1+m_2+n_1+n_2+n_3$ se le llama simplicidad de la construcción. Cuanto menor sea este valor, más eficiente será la construcción.

La simplicidad de una construcción podría mejorarse, por ejemplo, logrando describir de forma sucesiva círculos que tengan un radio común o un centro común, pues de esa forma no habría que recolocar el compás y no aumentarían $C_1$ ni $C_2$.

También se pueden definir otros coeficientes como el de exactitud, que sería $m_1+n_1+n_2$, y denota el número de operaciones "preparatorias" sobre los cuales depende la exactitud de la construcción.

Para escribir esta entrada, nos hemos basado fundamentalmente en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", publicado en 1991 por Duane DeTemple en la revista The American Mathematical Monthly.

En ese mismo artículo, DeTemple ofrece construcciones para el pentágono regular y para los polígonos regulares de 17, 257 y 65537 lados (los tres números son primos de Fermat). Por ejemplo, la del pentágono tendría una simplicidad de 15.

En el caso del heptadecágono, su construcción tendría simplicidad 45, mientras que la construcción de Herbert W. Hamilton de la que ya hablamos en su día tendría simplicidad al menos 53.

Y para construir el polígono regular de 257 lados, ya hablaríamos de simplicidad 566. Este número deja a las claras la complejidad de la construcción práctica de este polígono, y por qué hace poco hablamos de él pero no mostramos dicha construcción.

Y el propio DeTempe afirma que las construcciones que describe tienen menor simplicidad que sus "competidoras" y que son quizás casi óptimas. "Quizás", porque según parece determinar si una construcción dada tiene la simplicidad más baja posible es un problema áun abierto.

Relacionado con esto:

jueves, 23 de agosto de 2018

Parábola dadas la directriz y el foco

Una entrada más, y seguimos con la construcción de cónicas usando la regla y el comás. Hoy damos la vez a la parábola, y de nuevo lo haremos de tal forma que podemos llegar a tantos puntos como queramos, formando parte todos ellos de la parábola. Y aprovechando las virtudes del GeoGebra, de forma dinámica veremos aparecer la parábola mientras vamos dibujando un buen montón de sus puntos.

Y sin más procedemos a compartir la construcción, que ya contiene los comentarios explicativos necesarios.


https://www.geogebra.org/m/xyfer9n8


Relacionado con esto:

jueves, 16 de agosto de 2018

Hipérbola dados sus semiejes

Seguiremos con la colección que iniciamos en la entrada anterior, ni más ni menos que la construcción de cónicas. Hoy es el turno de la hipérbola, y de nuevo lo haremos de tal forma que podemos llegar a tantos puntos como queramos, formando parte todos ellos de la hipérbola. Y aprovechando las virtudes del GeoGebra, de forma dinámica veremos aparecer la hipérbola mientras vamos dibujando un buen montón de sus puntos.

Y sin más procedemos a compartir la construcción, que ya contiene los comentarios explicativos necesarios.


https://www.geogebra.org/m/pknscyw6



Relacionado con esto:

jueves, 9 de agosto de 2018

Elipse dados sus semiejes

Entre las (muchas) deudas pendientes de este blog está la de prestar atención a las cónicas. Así, en la construcción de la elipse lo que haremos es obtener un punto de la misma. De igual forma podríamos llegar a tantos puntos como queramos, formando parte todos ellos de la elipse. Aprovechando las virtudes del GeoGebra, esto último podemos hacerlo de forma dinámica, y veremos aparecer la elipse mientras vamos dibujando un buen montón de sus puntos.

Y sin más procedemos a compartir la construcción, que ya contiene los comentarios explicativos necesarios.


https://www.geogebra.org/m/zzhjhnvc


Relacionado con esto: