mércores, 11 de setembro de 2019

Recompilación de todas as entradas

Hoxe vou traer ao blog unha recompilación que fixen de todas as entradas que fun compartindo aquí ao longo dos anos. Está en formato pdf, e ocupa 212 páxinas incluíndo portada, índice de contidos, limiar, índice alfabético e bibliografía, ademais da morea de construcións que os seguidores asiduos do blog xa coñecen.

Deste xeito, queda todo o blog condensado nunha soa obra de consulta. De momento lanzo a versión 1, se algún día me animo a colgar máis construcións xa quedarán para posteriores versións. Para poder acceder ao pdf, pincha no seguinte enlace ou na imaxe:




https://drive.google.com/file/d/1vq9WGn7LWEoqnlPsIKm6xpA0ECgiZQwm/view



venres, 6 de setembro de 2019

Un reto para facer construcións con regra e compás!

Hai un tempo compartía no blog a entrada Euclid: The Game. Tratábase dun xogo no que un podía entreterse cos seus 25 niveis, nos cales se propuñan distintas construcións con regra e compás que había que conseguir facer no menor número de pasos posibles.

Navegando pola web un pode atopar grandes cousas, como aquel xogo ou como estoutro que traio hoxe, que se pode atopar na páxina sciencevsmagic. Entre as opcións que ofrece (tamén as hai sobre fractais ou mosaicos), unha delas é relativa ás construcións con regra e compás que aprendeches aquí. Propoñen uns cantos retos, até 40, que un pode ir intentado resolver paso a paso e un por uno.


luns, 11 de febreiro de 2019

Os tres problemas clásicos

Por influencia da escola pitagórica, os matemáticos da Antiga Grecia concedían gran importancia á xeometría. Dentro desta, gozaban de especial consideración as construcións con regra e compás, que seguían unhas normas determinadas. Entre ditas construcións houbo algunhas que se fixeron particularmente famosas. Son os tres problemas clásicos da xeometría da regra e o compás: a cuadratura do círculo, a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.

A cuadratura do círculo consiste en construír un cadrado con igual área que un círculo dado. A duplicación do cubo achega a construción do lado dun cubo tal que o seu volume sexa o dobre doutro cubo de lado coñecido. A trisección do ángulo procura construír un ángulo que sexa xusto a terceira parte doutro ángulo dado. Todo iso con regra e compás, claro.

Dende aquel entón e até o século XIX a resolución destes tres problemas foi abordada en multitude de ocasións, arroxando sempre resultados insatisfactorios. E é que no fondo deste asunto reside a imposibilidade de lograr tales construcións. Durante todo ese tempo a gran maioría dos intentos buscaban atopar a construción que permitise resolver o problema, pero o que sucedía é simplemente que non existe tal cousa.


Ferdinand von Lindemann demostrou en 1882 que o número $\pi$ é trascendente, é dicir, non é solución de ningunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros. Disto pode deducirse que é imposible, dada una lonxitude unidade, construír con regra e compás unha lonxitude igual a $\pi$ ou a $\sqrt{\pi}$. 

Sendo $r$ a área do círculo e $l$ o lado do cadrado, sexan $\pi\cdot r^2$ a área do círculo e $l^2$ a área do cadrado. Para poder realizar a cuadratura do círculo sería necesario que $l^2=\pi\cdot r^2$, e por tanto que $l = r \cdot \sqrt{\pi}$. É dicir, o raio do círculo e o lado do cadrado serían proporcionais con razón $\sqrt{\pi}$. Pero este último valor é trascendente, e por tanto a cuadratrura do círculo non é resoluble con regra e compás.


Pierre Wantzel publicou en 1837 a imposibilidade da trisección do ángulo e da duplicación do cubo con regra e compás. Tamén publicou a construción dun polígono regular tal que o seu número de lados non sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (isto último xa fora probado con anterioridade por Gauss).

Sendo $a$ o lado do cubo dado, e $b$ o lado do cubo duplicado, para achar este queremos que o volumen sexa dobre, é dicir que $b^3=2a^3$, o cal implicaría que $b=a\cdot \sqrt[3]{2}$. Os lados de ambos os cubos serían proporcionais con razón $\sqrt[3]{2}$.

Temos que $\sqrt[3]{2}$ é un número alxébrico (é dicir, si é solución de algunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros), pero non pode obterse dos números enteiros por suma, resta, multiplicación, división e extracción de raíces cadradas, que son as únicas que poden facerse con regra e compás. Para un número construíble, o grao do seu polinomio mínimo debe ser unha potencia de 2. Porén, o polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$ sobre o corpo dos números racionais ten grao 3. En consecuencia, non é posible duplicar o cubo.


A imposibilidade da trisección do ángulo baséase nun argumento similar ao da duplicación do cubo, só que o número non construíble con regra e compás é un pouco máis complicado de obter. Vexamos que ocorre co ángulo de 60º (a súa trisección sería o ángulo de 30º), para o cual usamos un chisco de trigonometría:

$\cos 60^{\circ} = \cos 3A = \cos (2A+A) = \cos 2A \cdot \cos A - \sin 2A\cdot \sin A = $
$ =(\cos^2 A - \sin^2 A)\cdot \cos A - 2\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \sin A =$
$= \cos^3 A - \sin^2 A\cdot \cos A - 2\cdot \sin^2A \cdot \cos A =$
$= \cos^3A-\cos A+\cos^3 A - 2\cdot \cos A + 2\cdot \cos^3 A = 4\cdot \cos^3A-3\cdot \cos A$ 

É dicir, $x=\cos 20^{\circ}$ debe satisfacer que $\dfrac{1}{2}=4x^3-3x$, ou equivalentemente $8x^3-6x-1=0$. Así, debería ser raíz dun polinomio irredutible de grao 3 con coeficientes enteiros. Ao non ser o seu grao unha potencia de 2, o $\cos 20^{\circ}$ non é construíble con regra e compás, e en consecuencia non se pode trisecar o ángulo de 60º.
 


Por último, quero constatar que, aínda que estes tres problemas son imposibles coas normas clásicas da regra e o compás, se eliminamos ditas esixencias si son resolubles mediante unha ampla gama de procedemientos xeométricos e alxébricos. Por exemplo, basta con que se permita utilizar unha regra con dúas marcas e un compás para que si sexa posible duplicar o cubo. Outro exemplo sería o uso de papiroflexia, método co que poderiamos construír sen problemas a trisección do ángulo.



venres, 1 de febreiro de 2019

Xeometrografía

Este blog tivo un par de anos de actividade frecuente, e logo un tempo no cal só colguei entradas novas de forma ocasional. Recoñezo que na actualidade o seu estado roza o abandono, aínda que por outra parte foron moitas as horas de entretemento que me proporcionou.

Pero a Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas está dedicada á regra e o compás, así que un blog coma este que os ten por tema central tiña que participar si ou si. Estou falto de ideas para o blog, o que me leva a -con algo de rubor- traer para a ocasión esta revisión dunha entrada algo antiga. Así que imos aó:

Esta entrada participa na Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas, que nesta ocasión organiza Gaussianos.

A xeometrografía estuda a complexidade das construcións con regra e compás. Pretende establecer criterios que permitan comparar a sinxeleza de diferentes construcións xeométricas que cheguen a un mesmo resultado final. Unha medida cuantitativa da sinxeleza dunha construción xeométrica foi creada en 1907 por Emile Lemoine. Considéranse as operacións seguintes:

$S_1$: colocar a regra sobre un punto dado.
$S_2$: debuxar unha liña recta.
$C_1$: colocar o compás nun punto dado.
$C_2$: colocar o compás nun punto indeterminado de una liña.
$C_3$: debuxar unha circunferencia.

Se cada unha destas operacións se repite, respectivamente, $m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ veces nunha construción, entón ao número total de operacións $m_1+m_2+n_1+n_2+n_3$ chámaselle simplicidade da construción. Canto menor sexa este valor, máis eficiente será a construción.

A simplicidade dunha construción podería mellorarse, por exemplo, logrando describir de xeito sucesivo círculos que teñan un raio común ou un centro común, pois dese xeito non habería que recolocar o compás e non aumentarían $C_1$ nin $C_2$.

Tamén se poden definir outros coeficientes como o de exactitude, que é $m_1+n_1+n_2$, e denota o número de operacións "preparatorias" sobre os cales depende a exactitude da construción.

Para escribir esta entrada, baseime fundamentalmente no artigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", publicado en 1991 por Duane DeTemple na revista The American Mathematical Monthly. Neste mesmo artigo, DeTemple ofrece construcións para o pentágono regular e para os polígonos regulares de 17, 257 e 65537 lados (os tres números son primos de Fermat). Por exemplo, a do pentágono tería unha simplicidade de 15.

No caso do heptadecágono, a súa construción tería simplicidade 45, mentres que a construción de Herbert W. Hamilton da que xa falamos no seu día tería simplicidade polo menos 53.

E para construír o polígono regular de 257 lados, xa estariamos a falar de simplicidade 566. Este número deixa ás claras a complexidade da construción práctica deste polígono, e por que hai puoco falamos del pero non mostramos dita construción. E é que un polígono de 257 lados é, a simple vista, indistinguible dun círculo.

E o propio DeTempe afirma que as construcións que describe teñen menor simplicidade que as súas "competidoras" e que son quizais case óptimas. "Quizais", porque segundo parece determinar se unha construción dada ten a simplicidade máis baixa posible é un problema aínda aberto.

Relacionado con esto:

xoves, 23 de agosto de 2018

Parábola dadas a directriz e o foco

Unha entrada máis, e seguimos coa construción de cónicas empregando a regra e o compás. Hoxe é a quenda da parábola, e de novo faremos a construción de tal xeito que podemos chegar a tantos puntos como queiramos, formando parte todos eles da parábola. E aproveitando as virtudes do GeoGebra, de forma dinámica veremos aparecer a parábola mentres imos debuxando un bo feixe dos seus puntos.

E sen máis procedemos a compartir a construción, que xa contén os comentarios explicativos necesarios.


https://www.geogebra.org/m/xyfer9n8


Relacionado con isto: