jueves, 16 de agosto de 2018

Hipérbola dados sus semiejes

Seguiremos con la colección que iniciamos en la entrada anterior, ni más ni menos que la construcción de cónicas. Hoy es el turno de la hipérbola, y de nuevo lo haremos de tal forma que podemos llegar a tantos puntos como queramos, formando parte todos ellos de la hipérbola. Y aprovechando las virtudes del GeoGebra, de forma dinámica veremos aparecer la hipérbola mientras vamos dibujando un buen montón de sus puntos.

Y sin más procedemos a compartir la construcción, que ya contiene los comentarios explicativos necesarios.


https://www.geogebra.org/m/pknscyw6



Relacionado con esto:

jueves, 9 de agosto de 2018

Elipse dados sus semiejes

Entre las (muchas) deudas pendientes de este blog está la de prestar atención a las cónicas. Así, en la construcción de la elipse lo que haremos es obtener un punto de la misma. De igual forma podríamos llegar a tantos puntos como queramos, formando parte todos ellos de la elipse. Aprovechando las virtudes del GeoGebra, esto último podemos hacerlo de forma dinámica, y veremos aparecer la elipse mientras vamos dibujando un buen montón de sus puntos.

Y sin más procedemos a compartir la construcción, que ya contiene los comentarios explicativos necesarios.


https://www.geogebra.org/m/zzhjhnvc


Relacionado con esto:

viernes, 3 de agosto de 2018

Teorema de Mohr-Mascheroni

El italiano Lorenzo Mascheroni publicó la demostración de este teorema en 1797, aunque ya en el siglo XX apareció en una tienda un libro del danés Georg Mohr, publicado con anterioridad, en 1672, que también resolvía este problema.

El teorema dice lo siguiente:


El teorema no se puede demostrar dando una construcción alternativa solo con compás para todas las construcciones posibles con regla y compás, pues el número de estas últimas no es finito. Lo que se puede hacer es demostrar que las siguientes cuatro construcciones fundamentales sí son posibles solo con compás:

  1. Dibujar una recta que pase por dos puntos dados.
  2. Dibujar una circunferencia con centro dado que pasa por un punto dado.
  3. Encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias.
  4. Encontrar los puntos de intersección de una recta y una circunferencia.
  5. Encontrar los puntos de intersección de dos rectas.

Es obvio que la construcción 1 no se puede realizar sin una regla, así que el resultado de Mascheroni en realidad no cubre esa construcción fundamental. Para esquivar esta limitación puede pensarse en una recta como dada conociendo dos de sus puntos. Las construcciones 2 y 3 son claramente posibles solo con compás, y la resolución solo con compás de las construcciones 3 y 4 ya ha aparecido en este blog.

Inspirado por el sorprendente resultado de Mascheroni, el francés Jean-Victor Poncelet se planteó si podría ser válido un resultado parecido sobre el uso de la regla, y en 1822 enunció una conjetura que sería publicada en 1833 por el suizo Jakob Steiner, pasando a denominarse desde entonces teorema de Poncelet-Steiner:


La conclusión que podemos extraer de este teorema es que todas las construcciones se pueden realizar solo con regla... usando una única vez el compás. La condición extra es indispensable, pues en aquellas situaciones en las que una circuferencia está dada pero no conocemos su centro, este no se puede hallar solo con la regla.

Relacionado con esto:
  • Teorema de Napoleón. Existe un teorema con triángulos que a veces se atribuye al famoso emperador Napoleón, pero su verdadero autor probablemente fue Mascheroni. Este, conocido de Napoleón y sabedor de la afición del emperador por las matemáticas, le dedicó el libro 'Geometría del Compasso' de 1797, en el que resolvió el teorema del que hablamos en esta entrada.
  • What is Mathematics?, de Richard Courant y Herbert Robbins, del cual hemos sacado la idea para esta entrada.
  • Cuadrado en un círculo solo con regla es la única construcción de ese tipo que hemos tratado en este blog. Usa un círculo dado, con centro conocido, como datos de partida.

sábado, 28 de julio de 2018

Centro de un círculo usando solo el compás (2)

Hoy vamos a ver otra aplicación de la inversión de un punto respecto a una circunferencia. Se trata de, dado un círculo, averiguar cuál es su centro cuando lo desconocemos. Y lo haremos, además, usando solo el compás.

En su día ya habíamos traído otra construcción para resolver este problema, muy parecida a esta pero que no usaba explícitamente la inversión.


https://www.geogebra.org/m/vnacefed


Relacionado con esto:

lunes, 23 de julio de 2018

Bisecar un segmento usando solo el compás

En nuestra última entrada veíamos una transformación en el plano: la inversión de un punto respecto a una circunferencia. Pues bien, en esta construcción vamos a ver una aplicación de dicha inversión.

Vamos a bisecar un segmento, o equivalentemente, a hallar el punto medio de dos puntos dados. Y lo haremos, además, utilizando solo el compás (próximamente en este mismo blog llegará una entrada dedicada en exclusiva a este aspecto).


https://www.geogebra.org/m/m6myqace


Relacionado con esto: